Question 1

はりに生じる応力に関する記述として、最も不適当なものはどれか。

Accepted Answer

せん断力が最大となる位置では、曲げモーメントもまた最大となる。。【解説】せん断力と曲げモーメントの間には、曲げモーメントの位置による変化の割合がせん断力に等しいという関係があります。したがって曲げモーメントが最大や最小になる位置ではその変化の割合がゼロ、すなわちせん断力がゼロとなります。逆にせん断力が最大となる位置は曲げモーメントが最も急に変化している位置であり、そこで曲げモーメントが最大になるわけではありません。よってこの記述は誤りです。等分布荷重を受ける単純ばりを例にとると、せん断力は両支点で最大となりますが、その位置の曲げモーメントはゼロです。曲げモーメントが最大になるのはせん断力がゼロとなるスパンの中央であり、両者の最大位置は明確に食い違います。【他の選択肢が不適切な理由】「せん断力は、部材を軸に直交する方向にずらそうとする応力である。」という記述は正しいです。「曲げモーメントは、部材を湾曲させようとする働きをもつ応力である。」という記述も正しく、上下の縁に引張と圧縮の応力度を生じさせます。「曲げモーメントが最大となる位置では、せん断力はゼロとなっている。」という記述も正しく、両者の微分の関係から導かれます。【試験の罠】曲げモーメントが最大となる位置を探すときは、せん断力がゼロになる点を先に見つけるのが定石です。せん断力図が正から負へ横切る点がその位置になります。集中荷重が作用する点ではせん断力が段違いに変わり、その点で曲げモーメントが最大になることも多くあります。

Question 2

はりの応力図の形状に関する記述として、最も不適当なものはどれか。

Accepted Answer

荷重を受けない区間のせん断力図は、傾きをもつ直線で表される。。【解説】せん断力の位置による変化の割合は、その位置に作用している分布荷重の大きさに等しくなります。したがって荷重が作用していない区間では変化の割合がゼロとなり、せん断力図は水平な直線すなわち一定値となります。よって傾きをもつ直線で表されるという記述は誤りです。傾きが生じるのは等分布荷重が作用している区間であり、その傾きの大きさが単位長さ当たりの荷重に相当します。この関係を使うと、応力図は計算をしなくても形状の見当をつけられます。荷重のない区間はせん断力が一定で曲げモーメントは直線、等分布荷重の区間はせん断力が直線で曲げモーメントは放物線、というように図の次数が一段ずつ上がっていきます。【他の選択肢が不適切な理由】「等分布荷重を受ける単純ばりの曲げモーメント図は、放物線となる。」という記述は正しく、中央で最大値をとります。「集中荷重を受ける単純ばりの曲げモーメント図は、直線で構成される。」という記述も正しく、荷重点で折れ曲がった三角形状となります。「等分布荷重を受ける単純ばりのせん断力図は、直線で構成される。」という記述も正しく、中央でゼロを横切ります。【試験の罠】荷重の次数、せん断力図の次数、曲げモーメント図の次数は1つずつ上がります。集中荷重ならせん断力は一定で曲げモーメントは直線、等分布荷重ならせん断力は直線で曲げモーメントは放物線となります。この階段関係を覚えておけば、図の形だけで選択肢を絞り込めます。

Question 3

スパン8.0mの単純ばりのスパン中央に、鉛直下向きの集中荷重20kNが作用するとき、生じる最大曲げモーメントとして正しいものはどれか。

Accepted Answer

40kN·m。【解説】スパン中央に集中荷重を受ける単純ばりの最大曲げモーメントは、荷重にスパンを掛けて4で除して求めます。本問では荷重20kNにスパン8.0mを掛けると160となり、これを4で除して40kN·mとなります。この値は、支点の反力が荷重の半分の10kNであり、その反力が中央までの4.0mの腕をもつことから10に4.0を掛けて求めても同じ結果になります。曲げモーメント図は両支点でゼロ、中央で最大となる三角形状を示します。せん断力は左半分と右半分で符号が変わり、中央でゼロを横切るので、この位置で曲げモーメントが最大になることが図からも確認できます。【他の選択肢が不適切な理由】「20kN·m」は、4ではなく8で除した場合の値です。8で除する式は全長にわたり等分布荷重を受ける単純ばりのものであり、中央に集中荷重を受ける場合には当てはまりません。「80kN·m」は、4ではなく2で除した場合の値です。2で除する式は全長にわたり等分布荷重を受ける片持ちばりのものであり、支持条件がまったく異なります。「160kN·m」は、荷重20kNとスパン8.0mを掛けただけで、4で除する手順を行っていない値です。荷重とスパンの積そのものが曲げモーメントになるのは、片持ちばりの自由端に集中荷重が作用する場合であり、両端が支持されている単純ばりでは支点反力が曲げを打ち消す分だけ小さくなります。【試験の罠】係数の使い分けが要点です。単純ばりの中央集中荷重は4で除す、単純ばりの等分布荷重はスパンの2乗を8で除す、片持ちばりの先端集中荷重は荷重とスパンの積そのもの、片持ちばりの等分布荷重はスパンの2乗を2で除す、という四つを一組で覚えましょう。

Question 4

スパン8.0mの単純ばりに、全長にわたり等分布荷重3.0kN毎メートルが作用するとき、生じる最大曲げモーメントとして正しいものはどれか。

Accepted Answer

24kN·m。【解説】全長にわたり等分布荷重を受ける単純ばりの最大曲げモーメントは、単位長さ当たりの荷重にスパンの2乗を掛け、これを8で除して求めます。本問では3.0にスパン8.0の2乗である64を掛けると192となり、8で除して24kN·mとなります。この値はスパン中央に生じます。支点反力から確かめると、全荷重は3.0に8.0を掛けた24kNで、その半分の12kNが各支点の反力です。中央での曲げモーメントは、反力12kNに腕4.0mを掛けた48から、中央より左半分の荷重12kNがその重心である2.0mの腕でつくるモーメント24を差し引いて24kN·mとなり、公式と一致します。【他の選択肢が不適切な理由】「12kN·m」は、8ではなく16で除した場合の値です。単位長さ当たりの荷重3.0kN毎メートルにスパンの2乗64を掛けた192を16で除すと12となりますが、16という係数はこの形式の式には現れません。「16kN·m」は、8ではなく12で除した場合の値です。12という係数は両端固定ばりの端部に生じる曲げモーメントの式のものであり、両端がピンとローラーで支持された単純ばりには用いません。「32kN·m」は、8ではなく6で除した場合の値です。いずれも係数の取り違えであり、支持条件と荷重の種類の組合せごとに係数が定まっていることを踏まえれば避けられる誤りです。単純ばりで全長に等分布荷重を受ける場合の係数は8であり、これは中央でせん断力がゼロとなる位置の曲げモーメントを積分して導かれる値です。【試験の罠】等分布荷重では、スパンが2倍になると曲げモーメントは4倍になります。スパンの2乗で効くという点が、長いスパンの梁ほど断面が急に大きくなる理由です。単純ばりの8という係数と、両端固定ばりの端部で12、中央で24という係数を混同しないよう区別しておきましょう。

Question 5

スパン8.0mの単純ばりの左端Aから2.0mの位置に、鉛直下向きの集中荷重12kNが作用するとき、生じる最大曲げモーメントとして正しいものはどれか。

Accepted Answer

18kN·m。【解説】集中荷重が中央からずれた位置に作用する単純ばりでは、最大曲げモーメントはその荷重点に生じ、荷重に左右の距離を掛け、スパンで除して求めます。本問では荷重12kNに左側の距離2.0mと右側の距離6.0mを掛けると144となり、スパン8.0mで除して18kN·mとなります。支点反力から確かめると、A点の反力は荷重に右側の距離を掛けてスパンで除した9.0kNであり、荷重点までの腕2.0mを掛けて18kN·mとなり一致します。荷重が中央にあるときが最大となり、支点に近づくほど最大曲げモーメントは小さくなります。【他の選択肢が不適切な理由】9kN·mは、A点に生じる鉛直反力の値そのものであり、力と曲げモーメントを取り違えています。24kN·mは、荷重が中央にあると誤って仮定し、荷重とスパンの積を4で除して求めた場合の値です。36kN·mは、A点の反力9.0kNにスパン中央までの腕4.0mを掛けた値であり、その位置より左側にある集中荷重12kNが腕2.0mでつくるモーメント24kN·mを差し引く手順を行っていない誤りです。中央の曲げモーメントは差し引いた12kN·mであり、最大値でもありません。【試験の罠】荷重が中央にない場合の公式は、荷重に左右の距離を掛けてスパンで除す、というものです。荷重が中央にあるときは左右の距離が等しくスパンの半分になるので、この式は荷重とスパンの積を4で除す式に一致します。二つの式が別物ではなく同じものだと理解しておくと記憶が確かになります。

Question 6

長さ4.0mの片持ちばりに、全長にわたり等分布荷重2.0kN毎メートルが作用するとき、生じる最大曲げモーメントとして正しいものはどれか。

Accepted Answer

16kN·m。【解説】全長にわたり等分布荷重を受ける片持ちばりの最大曲げモーメントは固定端に生じ、単位長さ当たりの荷重にスパンの2乗を掛けて2で除して求めます。本問では2.0にスパン4.0の2乗である16を掛けると32となり、2で除して16kN·mとなります。等分布荷重を合計の集中荷重に置き換えて考えると、合計は2.0に4.0を掛けた8.0kNであり、その重心は固定端から2.0mの位置にありますから、8.0に2.0を掛けて16kN·mとなり同じ結果が得られます。片持ちばりでは自由端で曲げモーメントがゼロ、固定端で最大となる放物線状の分布を示します。【他の選択肢が不適切な理由】8kN·mは、等分布荷重の合計値8.0kNをそのまま曲げモーメントとしたものであり、力と曲げモーメントの単位が異なることを見落としています。24kN·mは、重心の位置を固定端から3.0mと誤って取った場合の値です。32kN·mは、2で除する手順を行わなかった値であり、等分布荷重が自由端に集中していると誤って考えたことに相当します。【試験の罠】同じ等分布荷重でも、単純ばりは8で除し、片持ちばりは2で除します。片持ちばりのほうが4倍大きくなるので、同じ荷重を支えるには格段に大きな断面が必要になります。片持ちばりの先端に集中荷重が作用する場合は、荷重とスパンの積そのものが固定端の曲げモーメントとなります。

Question 7

トラスの応力に関する記述として、最も不適当なものはどれか。

Accepted Answer

荷重を受けない3部材が集まる節点では、3部材ともゼロ部材となる。。【解説】外力の作用しない節点に3本の部材が集まり、そのうち2本が同一直線上に並んでいる場合、直線上にない残りの1本だけがゼロ部材となります。同一直線上の2本は互いに力を伝え合っており、軸方向力はゼロになりません。したがって3部材ともゼロ部材になるという記述は誤りです。ゼロ部材の判定には二つの基本形があり、一つは外力のない節点に2部材だけが一直線上でない角度で集まる場合で、このとき2部材ともゼロになります。もう一つが本問の3部材のうち1本だけがゼロになる場合です。ゼロ部材は応力を負担しませんが、他の部材の座屈長さを短くする役割などをもつため、不要な部材というわけではありません。【他の選択肢が不適切な理由】「トラスの部材には、原則として軸方向力のみが生じるものとして扱う。」という記述は正しく、節点をピンとみなす前提によるものです。「節点法は、1つの節点に集まる力のつり合いから軸方向力を求める。」という記述も正しく、水平と鉛直の2つの式が使えます。「切断法は、部材を切断した断面のつり合いから軸方向力を求める。」という記述も正しく、特定の部材の応力だけを直接求めたいときに有効です。【試験の罠】ゼロ部材の判定は、外力がない節点に集まる部材の本数と、同一直線上に並んでいるかどうかで決まります。2部材で一直線上にないなら両方ゼロ、3部材で2本が一直線上なら残る1本がゼロ、と二つの形を覚えておけば大半の設問に対応できます。

Question 8

スパン8.0m、トラス高2.0mの平行弦トラスがあり、ある鉛直断面における曲げモーメントが16kN·mであるとき、その断面の下弦材に生じる軸方向力の大きさとして正しいものはどれか。

Accepted Answer

8kN。【解説】平行弦トラスでは、上弦材と下弦材が偶力を形成して曲げモーメントに抵抗しています。上弦材には圧縮、下弦材には引張の軸方向力が生じ、その大きさは等しくなります。偶力のモーメントは力の大きさと二つの作用線の間隔の積であり、この間隔がトラス高に相当します。したがって弦材の軸方向力は、その断面の曲げモーメントをトラス高で除して求められます。本問では16kN·mを2.0mで除して8kNとなります。この関係から、トラス高を大きくとるほど弦材に生じる軸方向力が小さくなり、細い部材で済むことが分かります。トラスがスパンの大きな屋根に用いられるのは、この効率のよさによるものです。【他の選択肢が不適切な理由】4kNは、トラス高を実際の2倍にあたる4.0mとして計算した場合の値です。16kNは、曲げモーメントの数値をそのまま軸方向力としたものであり、トラス高で除する手順を行っていません。32kNは、トラス高で除するのではなく掛けた場合の値であり、演算を逆にした誤りです。【試験の罠】弦材の軸方向力は曲げモーメントをトラス高で除す、斜材の軸方向力はせん断力を斜材の傾きの正弦で除す、と二つの関係を対で覚えます。トラス高が小さいほど弦材の力が大きくなるという傾向は、扁平なトラスほど不利になることを意味します。

Question 9

両柱脚がピン支持である門型ラーメンがあり、柱の高さは4.0m、梁の位置に水平方向の集中荷重10kNが作用している。一方の柱の柱頭に生じる曲げモーメントの大きさとして正しいものはどれか。ただし、左右の柱の断面と長さは等しいものとする。

Accepted Answer

20kN·m。【解説】両柱脚がピン支持で断面と長さが等しい門型ラーメンに水平力が作用する場合、水平力は2本の柱が等しく分担します。したがって各柱脚の水平反力は10kNの半分の5.0kNとなります。柱脚はピンですから曲げモーメントはゼロであり、柱に沿って上へ行くほど曲げモーメントは直線的に増え、柱頭で最大となります。その値は水平反力5.0kNに柱の高さ4.0mを掛けた20kN·mです。ラーメンの曲げモーメント図は、柱では柱脚のゼロから柱頭の20kN·mまで直線的に変化し、梁では両端の値を結ぶ形になります。柱を高くすると腕が長くなるので、同じ水平力でも柱頭のモーメントは大きくなります。【他の選択肢が不適切な理由】10kN·mは、水平反力を5.0kNとしながら腕を柱の高さの半分である2.0mと取り違えた場合の値です。40kN·mは、水平力10kNをすべて1本の柱が負担すると誤って考えた場合の値です。80kN·mは、水平力の分担も腕の取り方も誤り、10kNに柱の高さの2倍を掛けたような計算による値です。【試験の罠】水平力の分担は、柱の剛性の比に応じて決まります。断面と長さが等しければ等分となりますが、一方の柱が太い場合や短い場合には剛比に応じて分担が偏ります。柱脚がピンであれば柱脚のモーメントはゼロ、固定であれば柱脚にもモーメントが生じるという違いも押さえましょう。

Question 10

全長にわたり等分布荷重を受ける単純ばりについて、荷重の大きさと断面を変えずにスパンだけを2倍にしたとき、最大たわみは何倍になるか。正しいものはどれか。

Accepted Answer

16倍。【解説】全長にわたり等分布荷重を受ける単純ばりの最大たわみは、単位長さ当たりの荷重にスパンの4乗を掛けた値を、ヤング係数と断面二次モーメントの積の384倍で除し、さらに5を掛けて求めます。したがってたわみはスパンの4乗に比例します。スパンを2倍にすると、2の4乗である16倍になります。最大曲げモーメントがスパンの2乗に比例して4倍にしかならないのに対し、たわみは16倍にもなるという点が重要です。長いスパンの梁では、強度の検討では余裕があってもたわみが過大となって設計が決まることが多くあります。使用上の支障がないよう、たわみはスパンに対する比で制限されるのが通例です。【他の選択肢が不適切な理由】4倍は、たわみがスパンの2乗に比例すると誤解した場合の値であり、これは最大曲げモーメントの増え方です。8倍は、スパンの3乗に比例すると誤解した場合の値であり、3乗になるのは中央に集中荷重を受ける単純ばりのたわみです。32倍は、スパンの5乗に比例すると誤解した場合の値です。【試験の罠】等分布荷重を受ける単純ばりのたわみはスパンの4乗、中央に集中荷重を受ける場合は3乗に比例します。また、たわみはヤング係数と断面二次モーメントの積に反比例するので、せいを2倍にすれば断面二次モーメントが8倍となり、たわみは8分の1になります。

構造力学：はり・ラーメン・トラスの応力の一問一答